100所名校高考模拟金典卷语文(一) 答案

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22.(12分)设函数f(x)=xlnx-ax2+(2a一1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0，+∞)，则g'(x)=1-2a=1-2axx当a≤0时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增.(2分)当a>0时，若x∈(02a),则g'(x)>0,函数gx)单调递增：若x∈（品十∞）小，则g(x)<0,函数gx)单调递减。(4分)所以当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(0，十o∞)；当a>0时，画数g(x)的单调递增区间为(0,2a),单调递减区间为(2，十∞）(6分)》(2)由题意知，f'(1)=0.①当a≤0时，g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，即f'(x)在区间(0，十∞)上单调递增.所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意(7分)②当0 1，由1物了)在区同0,2品)上单调道增.可得当z∈01)时，fx)0,音x,品)时，f:)>0,所以：)在区间（0,1上单调递流，在区间1，岩)上单调递增，所以)在x=1类取得板小值，不符合题意.(8分)11③当a=2时，2a=1,f'(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单润递减，所以当x∈(0，+∞)时，f'(x)≤0，f(x)单调递减，不符合题意.(9分)④当a>2时，0<<1，当x∈(a1)时，f(x)>0,fx)单调递增，当x∈1+o)时，f'(x)<0,fx)单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，符合题意.(11分)综上可知，实数a的取值范国为(，十∞)(12分)

*已知函数f(x)=xlnx一ax十1，a∈R.(1)若f(x)的值域为[0，+∞)，求a;(2)若-1≤a≤1，证明：xlnx-asin x+1>0.(1)解：由题意得f'(x)=lnx+1一a,令f'(x)=0,得x=e-1.当0 e-1时，f'(x)>0,f(x)单调递增.故当x=e-1时，f(x)取最小值f(e-1)=e-llne-1-ae-1+1=1-e-1因为f(x)的值域为[0，十∞)，所以1一e-1=0,解得a=1.(2)证明：要证明xlnx一asin x+l>0,即证明xlnx>asin x一l.令g(x)=x-sinx(x>0),则g'(x)=1一cosx≥0，所以g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，故g(x)=x一sinx>0,即x>sinx,①若0 asin x-1(x>0).由(1)可知，当a=1时，f(x)=xlnx-x+1≥0，即xlnx≥x-l,当0 asin x-1,所以当0 asin x一l.②若a=0,即证明xlnx>一1，令a=0,则f(x)=xlnx十1，由(1)可知，当0 <工<上时，f(x)单调递减：当> 上时，f(x)单调递增.e故xnx+1≥/（日）=-是+1>0，所以xlnx>-1.③若-1≤a<0,当x∈(0,1]时，asin x-1<-1,由②知xlnx>-1,所以xlnx>asin x一1.当x∈(1，十oo)时，asin x一1≤0，xlnx>0,所以xlnx>asin x-l.综上所述，当-l≤a≤1时，xlnx-asin x+1>0.