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20.(12分)设函数f(x)=lnx十，k∈R(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线y一3=0平行，求f(x)的极小值；(2)若对任意0
21.(12分)已知a>0,函数f(x)=nx-asin a+1x(1)证明：f(x)在区间(0，π)上有唯一的极值点；(2)当a=2时，求f(x)在区间(0，十∞)上的零点个数.(1)证明：由题意得f'(x)=x一a.rcos十asin-1(1分)记g(x)=x-axcos x十asin x-1,x∈(0，π)，则g'(x)=axsin x+1.(2分)》由a>0得g'(x)>0在区间(0，π)上恒成立，所以g(x)在区间(0，π)上为增函数，并且g(0)=-1<0,g(π)=π十aπ-1>0.根据零点存在性定理可知，存在唯一的x。∈(0，π)使得g(x0)=0,(3分)且当x∈(0，xo)时，g(x)<0,当x∈(xo,π)时，g(x)>0.由于fx)=8,周光当x∈0，)时，fz)<0.当x∈(xo,π)时，f'(x)>0,当x=xo时，f'(xo)=0,所以x0是f(x)在区间(0，π)上唯一的极值，点.(5分)(2)解：当a=2时，(x)=-2 cos z+2sinx-1,由1)知，存在x,∈(0，r)使得f(x)在区间(0，x,)上为减函数，在区间(x1,π)上为增函数(6分)因为f'(1)=2sin1-2cos1>0,所以x1∈(0,1).又因为f(1)=1-2sin1<0,f(x)=lnx+1>0,根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(1，π)上存在唯一的零点，在区间(x1,1)上无零点；(8分)当r>x时，f(x)=lnx-28sin+≥nx-上>1n元-1>0，因此函数f(x)在区间（π，十∞）上无零点；当x∈(0，x1)时，记y=sinx-x,则y'=cosx一1<0，所以y=sinx-x在区间(0，x1)上为减函数，所以sinx一x<0,即x>sinx>0对x∈(0，x1)恒成立.(10分)所以当x∈(0，x)时，fx)=1nx-2sn2+>1nx+-2,x所以f(e-2)>e2一4>0，结合f(x1)<0知函数f(x)在区间(e-2,x1)上存在唯一的零点，在区间(0，e2)上无零点.综上所述，函数f(x)在区间(0，十∞)上共有2个零点.(12分)
