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19.【命题意图】本题考查立体几何中线面之间的位置关系、二面角的余弦值的求解，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，(1)【证明】如图，连接AB,BC,CD,因为A,B,C,D是圆柱O01的底面圆弧上的四等分点，所以四边形ABCD为正方形(1分)连接AC,A,C1,则AC,BD为底面圆的互相垂直的直径，且AC∩BD=O.由圆柱的性质，得平面ACC,A,⊥底面ABCD,又平面ACC,A,∩底面ABCD=AC,AC⊥BD,BDC底面ABCD,所以BD⊥平面ACC,A因为A,0C平面ACC1A1,所以BD⊥A,O.(2分】连接C,O.设AM1=1,则AD=√2，所以在正方形ABCD中，AC=√AD+CD2=2,所以A0=0C=1.在Rt△AM,0中，由勾股定理得A,0=√AM+AO=√2，同理可得C,0=√2又A,C1=AC=2,所以A,02+C,02=A,C,所以A,0⊥C,0.(4分)】又A0⊥BD,BD∩C1O=0,所以A,O⊥平面BC,D(5分)(2)【解】连接O01,由(1)知，BD,AC,O01两两垂直.如图，以0为坐标原点，以0B,OC,O01所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-yz.:0CyXB不妨取A41=1,则A(0,-1,0),D(-1,0,0),C1(0,1,1),A(0,-1,1),所以AD=(-1,1,0),AC=(0,2,1).(7分)设平面AC,D的法向量为m=(x,y,z).AD·m=0,-x+y=0,由Cm0得2y:=0得令y=1,则x=1,z=-2,所以m=(1,1,-2).(9分)由(1)可知，0A1=(0,-1,1)是平面BC,D的一个法向量，记为n=0A(10分)则s(am）-调清6方1-32(11分》由图可知，二面角A-C,D-B为锐角，所以二面角A-C,D-B的余弦值为号(12分)
21.【命题意图】本题考查抛物线的定义、方程及其简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查函数思想，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，【解】(1)由题意可知，d=xo+2.抛物线C:y=2pr(p>0)的准线方程为x=-号，焦点坐标为F号，0由抛物线的定义，得1PF1=o+号，10F1=号(2分)由d=10F1+1PF1,得+2=o+号+号，所以p=2.(3分)故抛物线C的方程为y=4x.(4分)】(2)由(1)，得P(1,2),F(1,0),则PF⊥x轴.设A(x1,y1),B(2,y2)因为PF平分∠APB,所以直线PA与PB的斜率之和为0，即当-2当-20(5分)又=4x,=42,所以4-2,2-20-1-144整理，得4。4%+2+2=0,即%+2=-4所以=上=当=4=-1(6分)】名-x2y2y+y244设直线AB的方程为y=-x+m(m≤2).广=4，得2-(2m+4)x+m2=0.由y=-x+m,令4=[-(2m+4)]2-4m2=16m+16>0,得m>-1.又m≤2，所以-1 0:当me(分时，f'(m)<0.所以(m)在(1，)上单调递增，在（行2上单调递减。所以f(m)f(-所以(5w）-2受-2,5(11分)》故△PHB面积的最大值为2，(12分)
