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17.(10分)已[文]知函数f(x)=l[章]nx一x2十ax,[来]a∈R.(1)证明[自]：lnx≤x一1；[知](2)若a≥1，试[嘛]讨论函数f(x)的[答]零点个数.1)证明[案]：令g(x)=ln[网]x-x+1(x&g[文]t;0),则g(1[章])=0,g'(x)=是-1=1[来]-之，可得当x∈([自]0,1)时，g'(x)>0,[知]函数g（x)单调递[嘛]增；当x∈(1，十[答]∞)时，g'(x)<0,[案]函数g(x)单调递[网]减，(2分)所以当[文]x=1时，函数g([章]x)取得极大值也是[来]最大值，所以g(x[自])≤g(1)=0,[知]即lnx≤x-1.[嘛](4分)(2)解：[答]f(x)=1-2z[案]十a=-2x+ax[网]+1,x>0[文].令-2x8十ax[章]0+1=0,解得x[来]=a十va+84（[自]负值舍去），在区间[知](0，x0)上，f[嘛]'(x)>0,[答]函数f(x)单调递[案]增；在区间(xo,[网]十∞)上，f'(x)<0,[文]函数f(x)单调递[章]减，所以f(x）m[来]ax=f(xo).[自](6分)当a=1时[知]，xo=1,f(x[嘛])mx=f(1)=[答]0,此时函数f(x[案])只有一个零点1.[网](7分)当a>[文];1时，f(1)=[章]a-1>0,[来]f)=云京+日品-[自]1证+=-（公引-[知]0f(2a)=ln[嘛]2a-2a2<[答];2a-1-2a2[案]=-2(a-2）°[网]-2<0.所[文]以函数fx)在区间[章]（品1）和(1,2[来]a)上各有-个幸点[自].(9分)综上，当[知]a=1时，函数f([嘛]x)只有一个零点；[答]当a>1时，[案]函数f(x)有两个[网]零点.(10分)
19.(12分)某[文]单位科技活动纪念章[章]的结构如图所示，O[来]是半径分别为1cm[自],2cm的两个同心[知]圆的圆心，等腰三角[嘛]形ABC的顶点A在[答]外圆上，底边BC的[案]两个端点都在内圆上[网]，点O,A在直线B[文]C的同侧.若线段B[章]C与劣弧BC所围成[来]的弓形面积为S1,[自]△OAB与△OAC[知]的面积之和为S2,[嘛]设∠BOC=20.[答](1)当0=时，求[案]S2-S1的值：([网]2)经研究发现当S[文]2一S,的值最大时[章]，纪念章最美观，求[来]当纪念章最美观时，[自]cos0的值.（求[知]导参考公式：(si[嘛]n 2x)'=2cos 2x,(cos 2x)'=-2sin 2x)20解：由题[答]意知：∠B0C=2[案]0∈(0，x),故[网]0e(0,）过点O[文]作OD⊥BC于点D[章],则D为BC的中点[来].又△ABC为等腰[自]三角形，所以A,O[知],D三点共线，所以[嘛]∠AOB=∠AOC[答]=π-0，所以5，[案]=专·2011-。[网]OB·OCsin2[文]0=0-sin0c[章]os0,s,=2x[来]2×1×2×sin[自](x-0)=2si[知]n0.(2分)岁0[嘛]=号时，5-音-9[答]s-,故S,-5,[案]-543所以当0=[网]号时S,-5,的值[文]为55-吾(4分)[章](2)S2-5,=[来]2sin0+2si[自]n20-0,9e([知]0,2)令f(0)[嘛]=2sin0+2s[答]in20-0,8∈[案](0,2)则f'(0)=2cos0[网]-1+cos20=[文]2(cos28+c[章]os0-1),令'(0)=0，得0s[来]0=5,（负值含去[自].(6分)2当0变[知]化时，f(),f'(0)的变化情况如[嘛]下：9(0,0)B[答]of'(8)+0f(0)[案]单调递增极大值单调[网]递减(8分)记os[文]0。-52,0∈0[章]，)2故当0=0，[来]中0s0-5时f0[自]爱大，即5，-5，[知]的位最大(12分)[嘛]
