「2023衡中同卷全国二卷B数学 答案」衡中同卷二调答案

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9.如图是y=f([文]x)的导函数的图象[章]，则下列四个判断中[来]正确的是A.f(x[自])在区间[一2，一[知]1]上是增函数B.[嘛]f(x)在区间（一[答]1,2）上是增函数[案]C.f(x)的最大[网]值是f(1)D.当[文]x=3时，f(x)[章]取极小值【答案】B[来]【解析】根据导函数[自]图象可知，在区间[[知]一2，一1]上，f[嘛]'(x)≤0，f(x[答])在区间[一2，一[案]1]上是减函数，故[网]A错误；在区间（一[文]1,2）上，f'(x)>0,[章]f(x)单调递增，[来]故B正确，C错误；[自]f(x)在区间(2[知],4)上单调递减，[嘛]在区间(4,5)上[答]单调递增，则当x=[案]4时，f(x)取极[网]小值，故D错误.

21.(12分)已知函数f(x)=xlnx一mx2(m∈R).(1)当m=3时，求f(x)的零点个数：(2)记f(x)的导函数为f'(x),若关于x的方程f'(x)=1在区间(0，十∞)上存在两个不相等的实根x1,x2,且x1 e.1)解：当m=号时，fx)=xlnx-号r=z(n-号小x>0,由题意知f(x)的零点个数即方程nx-了x=0的根的个数。令g(x)=lnx-3x,x>0,则g'(x)=1-1=3-xx 3 3x当x∈(0,3)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(3，十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)mx=g(3)=ln3-1>0.(4分)又8=-号<0，g6)=n6-2<0所以由零点存在性定理可知，存在x1∈(1,3)，x2∈(3,6)，使得g(x1)=0,g(x2)=0,所以方程g(x)=0有两个实根，所以f(x)有两个零，点.(6分)(2)证明：由f(x)=xlnx-mx2(m∈R),得f'(x)=lnx-2mx+1,所以关于x的方程lnx一2mx十1=1有两个不等的实根x1,x2,且0 e,即证lnx1十lnx2>1,只客滋2中>1，即证1n10,t-1设h(t)=lntt-1t+1'则h'()=2t2+1t(+1)F2(t+1)>0,所以h(t)在区间(0,1)上单调递增，h(t) 1,即>et-1(12分)