100所名校高考模拟金典卷语文2023 答案

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22.(12分)y2圆C,+=1(>b>0)的离心率为，F,F,分别为椭圆C的左、右焦点，过F,且与xQ线与椭圆C交于A,B两点，且△ABF2的面积为√3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线L与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点，且PM⊥PN,求|PM|·IPN|的最大值.解：(1)因为椭圆C的离心率为,所以=①.Q2将x=一c代入a+6=1,得y=士6，a262所以AB1=26,a则分×2c×20-g,p20=5@.a0由①②及a2=b2十c2,得a=2,b=1,22故椭圆C的标准方程为4十y2=1.(2)由题意知，直线L的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为x=ky十m(m≠2).影支+y=1'消去x得（传2+4)y2+2my十m2-4=0,x=ky十m,△=4k2m2-4(k2十4)(m2一4)>0，化简整理得k2+4>m2.-2kmm2-4M(x1y),N(xy),则y1+y=y-于因为PM⊥PN,所以PM.PN=0.因为P(2,0),所以PM=(x1-2,y1),PN=(x2-2,y2),得(x1-2)(x2-2)十y1y2=0,将x1=y1十m,x2=y2十m代入上式，得(k2+1)y1y2十k(m-2)(y1十y2)+(m-2)2=0,得+1Dm二4+k(m-2）·22+(m-22=0,解得m=号或m=2(舍去)，6k2+4k2十4所以直线1的方程为x=y十号，则直线1恒过点Q(号0，6所以5m=号PQ1·y,-y.=2×号×1+)-4=若×825(k2+4)-36(k2+4)2设t则0<≤寻k2十48S△PMN=×√-36t2+25t,25易知y=污×一3602+20在区间(0，]上单调递增，16所以当t=4时，S△PMw取得最大值，为2|PMI·IPNI,1又SAPMN=32所以(|PM|·|PN)m=2(S△PMN)x=25

20.(12分)如图，已知直线m与椭圆C:号+兮-1相切于点P1,》,直线以的斜率为分，设直线m与椭圆交于A,B(异于点P)两点，与直线m交于点Q.(1)求直线m的方程；(2)证明：|AQ|,|PQ,BQ成等比数列.QB（1)解：由题意知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=(x-1)十。，22,y2=1,43联立因为直线m与C相切，所以该方程组只有一组实数解，y=k(x-1)+2,即方程(4+3)x+8(含一kr+4(径-)°-12=0只有一实振，则4=64（受--44+3[4(2-）-12]=0，解得k=一,故直线m的方程为x十2y-4=0.11(2)证明：设直线n的方程为y=2x十t,则xQ=2-t且x0≠1，则t≠1，22y=1,4由得x2+tx十t2-3=0,y2x+t,所以xA十xB=一t,ZAZB=t2-3,所以PQ1=N1+(-)1x-xal】=-1D>01AQ·BQ=,1+(2)Ixo-xA1+(合)xg-xm5|6-(红+红gzo十z4l=1(2-t)2-(2-t)(-t)+2-31=是2-2+1)-5(-1D>0,即|PQ|2=|AQ|·IBQ|,即|AQ,|PQ1,|BQ|成等比数列.