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设平面PCD的法向[文]量为n=(x,y,[章]z),n·PD=0[来],则n·PC=0,[自]令z=2.则x=1[知],y=-2所以n=[嘛](1,-2,2)又[答]PB=(1,1,-[案]1),PBB所以c[网]os(n,PBPB[文]3所以直线PB与平[章]面PCD所成角的正[来]弦值为(3)设M是[自]棱PA上一点,则存[知]在λ∈[0,1使得[嘛]AM=AAP因此点[答]M(0,1-入,A[案]),BM=(—1,[网]一入,λ).因为B[文]M￠平面PCD,所[章]以BM∥平面PCD[来]当且仅当BM·n=[自]0,即(-1,A,[知]A)·(1,-2,[嘛]2)=0解得入=-[答]AM所以在棱PA上[案]存在点M使得BM∥[网]平面PCD,此时A[文] DAM所以在校PA[章]上存在点M使得BM[来]∥平面PCD,此时[自]AP=4
(1)由已知得AD[知]∥BE,CG∥BE[嘛],所以AD∥GG,[答]故AD,CG确定一[案]个平面,从而A,C[网],G,D四点共面由[文]已知得AB⊥BE,[章]AB⊥BC,故AB[来]⊥平面BCGE又因[自]为ABC平面ABC[知],所以平面ABC⊥[嘛]平面BCGE(2)[答]作EH⊥BC,垂足[案]为H.因为EHC平[网]面BCGE,平面B[文]CGE⊥平面ABC[章],所以EH⊥平E([来]F)面AB由已知,[自]菱形BCGE的边长[知]为2,∠EBC=6[嘛]0°,可求得BH=[答]1,EH=√3以H[案]为坐标原点,HC的[网]方向为x轴的正方向[文],建立如图所示的空[章]间直角坐标系H-x[来]yz,则A(-1,[自]1,0),C(1,[知]0,0),G(2,[嘛]0,√3),CG=[答](1,0,√3),[案]AC=(2,-1,[网]0)设平面ACGD[文]的法向量为n=(x[章],y,gz),则即[来]AC·n=02x-[自]y=0所以可取n=[知](3,6,-3)又[嘛]平面BCGE的法向[答]量可取为m=(0,[案]1,0),√3所以[网]cos(n,m因此[文]二面角B—CG-A[章]的大小为30
