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√313.—π;3[文]
21.(12分)解[章]:(1)由已知:4[来]1(0.-a).4[自](0.a).因为M[知](2)在椭页上直线[嘛]M1M42的斜率之[答]积等于-4所以k当[案]k=+a,解得:a[网]2=81-01-0[文]又=1,所以b分所[章]以椭圆的标准方程为[来]-+……分(2)设[自]4(x1,y)B([知]x22)为过点F的[嘛]直线与椭圆E的交点[答],①)若该直线的斜[案]率存在,不妨设为k[网],则该直线的方程是[文]y=kx+m联立力[章]程得:4x2+y2[来]=8分y=k+m消[自]元并化简得:(4+[知]k2)x2+26m[嘛]x+m2-8=0,[答]2km以+=4+k[案]2=4+k设H(x[网]1,-m),G(x[文],-=m)因为M,[章]A,H三点共线,即[来]MIMm所以(x-[自]1)(1-2)=([知]-m-2)(x-1[嘛]),由已知得,点M[答]不在直线y=kx+[案]m上,且片1=kx[网]+m所以(m+2)[文](x-1)6分kn[章], +m-2同理可得x[来]=(m+2)(x2[自]7分所以x+x,=[知]x一2kx+m-2[嘛]kr,+m-2(m[答]+2)2kx+(m[案]-2-k+x)+4[网]k2xx2+k(m[文]-2)x+x2)+[章](m-22km8将[来]x1+x24+25[自]2,代入上式并化简[知]得4+km+2)([嘛]k-2)k2(m+[答]2)(k-2)所以[案]N的坐标为2(k-[网]m+2)当k-2≠[文]0时,直线MN的斜[章]率k2(k-m+2[来])2(m-+)为k[自]与k的取值无关,所[知]以m-4=0,即m[嘛]=4此时kn=-2[答]10分②若经过点F[案]的直线斜率不存在,[网]此时AB为椭圆E长[文]针端点不妨设,4([章]0.2V2)B(0[来].-2√2,因为1[自],三点共线H坐标为[知]+1.-m,同理G[嘛]坐标为m+2+1.[答]-m22√2+2n[案]+4此时线段G/的[网]中点为N11分所以[文]k=-2,亦满足要[章]求+4综合①②可知[来]:存在m=4使得直[自]线M的斜率为定值-[知]2.……12分
