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18解:(1)∵P[文]C⊥平面ABCD,[章]ACc平面ABCD[来],,AC⊥PC因为[自]AB=4,AD=C[知]D=2,所以AC=[嘛]BC=22,所以A[答]C2+BC2=AB[案]2,所以AC⊥BC[网]又BC∩PC=C,[文]所以AC⊥平面PB[章]C因为ACc平面E[来]AC,所以平面EA[自]C⊥平面PBC-5[知]分(2)如图,以点[嘛]C为原点,DA,C[答]D,CP分别为x轴[案]、y轴、z轴正方向[网],建立空间直角坐标[文]系,则C(0,0.[章]0),4(2,2,[来]0),B(2,-2[自],0)设P(00.[知]2a)(a>[嘛]0),则E(-1a[答])CA=(2,2,[案]0),CP=(0,[网]0,2a),CE=[文](1,-1,a)取[章]=(1,-1,0)[来]则示CA=前CP=[自]0.,m为面PAC[知]法向量设=(x,y[嘛],2)为面EAC的[答]法向量,则CA=C[案]E=0取x=a,y[网]=-a,2=-2,[文]则万=(a,-a,[章]-2)x-y+az[来]依题意cos(元动[自])=√6a2+-3[知],则a=2于是=([嘛]2,-2,-2),[答]PA=(2,2,-[案]4)设直线PA与平[网]面EAC所成角为,[文]则sinO=cos[章](PA,示=即直线[来]PA与平面EAC所[自]成角的正弦值为√1[知]2分
18.解:(1)设AC1与A1C的交点为E,则E为A1C的中点,连接DE,又D是A1B1的中点,所以DE∥B1C.(3分)又DEC平面AC1D,B1C￠平面AC1D,所以B1C∥平面AC1D(5分)2)由AC⊥BC及三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱可知,A1C1,B1C1,CC1两两垂直以点C1为原点,直线C1B1,C1C,C1A1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系C1-xyzBC则C1(0,0,0),A1(0,0,√2),B1(√2,0,0),A(0,√3,√2),C(0,3,0),D(y2,0(7分)2所以Cb=(2,o.2)C=(0,,)CA(0,-√3,2)设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),AD2I+v0,20,则n·C1A=0,0x+√3y+√2z=0,令x=3,得z=-3,y=V6,所以平面ADC1的一个法向量为n=(3,6,-3)(9分)设直线CA1与平面AC1D所成角为6.则sin6=|cos
