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20.【解】(1)[文]由已知椭圆C的一个[章]焦点与抛物线y2=[来]4√3x的焦点(3[自],0)重合,∴c=[知]√3,a2-b2=[嘛]3,①把点(2,2[答])代入椭圆方程得2[案]+=1,②a=2解[网]①②联立的方程组得[文]故所求椭圆Cb=1[章]的方程为+y2=1[来].(2)设直线l的[自]方程为y=kx+m[知],代入分y2=1,[嘛]整理得(4k2+1[答])x2+8kmx+[案]4m2-4=0,△[网]=64k2m2-4[文](4k2+1)(4[章]m2-4)>[来]0,即4k2-m2[自]+1>0设M[知](x1,y1),N[嘛](x2,y2),1[答]+8km4k2+1[案]则4m2-4124[网]k2+1yIyi =(k t m)(kxz t m)=kxix2+[文]km(x1+x2)[章]+m2=2m2-4[来]k28k2m24k[自]2+14k2+1m[知]2-4k4k2+1[嘛]kky2k,kJ1[答] J2 J1 ym2-Akx1k[案]+142,∵kk为[网]定值,设4m2-4[文]m2-4k4k2+[章]为λ,则4k4m2[来]-4λ,整理得(1[自]-4A)m2=4k[知]2-4A对任意的m[嘛]∈R都成立,1-4[答]A=0,解得k=士[案]4k2-4A=02[网]
21.(1)证明:[文]因为PC⊥平面AB[章]CD,ACC平面A[来]BCD,所以AC⊥[自]PC因为AB=4,[知]AD=CD=2,所[嘛]以AC=BC=2√[答]2,所以AC2+B[案]C2=AB2,所以[网]AC⊥BC又BC∩[文]PC=C,所以AC[章]⊥平面PBC因为A[来]CC平面EAC,所[自]以平面EAC⊥平面[知]PBC(4分)(2[嘛])解:取AB的中点[答]F,连接CF,以C[案]为坐标原点,CF,[网]CD,CF的方向分[文]别为x轴、y轴、z[章]轴的正方向,建立如[来]图所示的空间直角坐[自]标系,B则C(0,[知]0,0),A(2,[嘛]2,0),B(2,[答]-2,0),P(0[案],0,2a)(a&[网]gt;则E(1取C[文]P-cE平面PAC[章]的一个法向量为m([来]1,-1,0)n·[自]CA=0,mCD=[知]设n=(x,y,)[嘛]为平面EAC的一个[答]法向量,(6分)则[案]CA-O+y=0n[网]·CE=0即取ta[文]z=o2,则na([章]8分)由题意得|c[来]os√6MliNi[自]3解得a=2,所以[知]n2,-2),PA[嘛]=(2,2设直线P[答]A与平面EAC所成[案]的角为0,则sin[网]0=(PA, n)√2PALiN[文](11分)故直线P[章]A与平面EAC所成[来]角的正弦值为3(1[自]2分
