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19.(12分)在[文]四棱锥P-ABCD[章]中，PA⊥平面AB[来]CD,AB=BD=[自]DA=2√3，BC[知]=CD=2.(1)[嘛]求证：平面PAC⊥[答]平面PBD;(2)[案]若直线CD与平面P[网]BC所成角的正弦值[文]为，求平面PCD与[章]平面PBC所成锐二[来]面角的余弦值。(1[自])证明：连接AC,[知]兴4∠≌1△因为A[嘛]B=BD=DA=2[答]√3，BC=CD=[案]2,所以△ABD为[网]等边三角形，△BC[文]D为等腰三角形，所[章]以AC⊥BD,又P[来]A⊥平面ABCD,[自]BDC平面ABCD[知],IAH,=长因所[嘛]以PA⊥BD,O8[答]A成平色8，A,月[案]0产的又AC∩PA[网]=A,AC,PAC[文]平面PAC,A两年[章]1+所以BD⊥平面[来]PAC,又BDC平[自]面PBD,是函平过[知]八千击平A9平空有[嘛]生误因所以平面PA[答]C⊥平面PBD,8[案]筋年19：豫(S([网]2)解：以A为原点[文]，AD,AP所在直[章]线为y,之轴，在平[来]面ABCD内，作A[自]x⊥平面PAD,建[知]立如图所示的空间直[嘛]角坐标系，长发过热[答]H大：熟冰整长H落[案]林单带放国设PA=[网]a(a>0)[文],则P(0,0,a[章]),B(3,W5,[来]0),C(2,23[自],0),D(0,2[知]5,0),C元=([嘛]-2,0,0)，B[答]C=(-1,√3,[案]0)，PC=(2,[网]25,-a).的8[文]T:平设平面PBC[章]的一个法向量为m=[来](x,y,x),m[自]·BC=0…p厂z[知]+3y=0mPt=[嘛]0,2x+2√3y[答]-az=0,令y=[案]1,则m=(51,[网]4）(0,0,I一[文])=H人长图H因为[章]直线CD与平面PB[来]C所成角的正弦值为[自]，0形下日A-25[知]所以|cos(CD[嘛],m)1=CDIm[答]2×,3+1十解得[案]a=2或-2（舍去[网]）.所以PC=(2[文],23,一2)，m[章]=(W3,1,23[来]),同理可得，平面[自]PCD的-个法向量[知]为n=(0,1,W[嘛]3),所以cos〈[答]m,n)=mm√3[案]+1+12×2m·[网]n1+678西单面[文]野4点正范不。。([章]故平面PCD与平面[来]PBC所成锐二面角[自]的余弦值为g,7
2.将正方形ABC[知]D沿着对角线AC折[嘛]成一个直二面角，此[答]时BD=2,则边长[案]AB=A司口商平一[网]C任长B.1cD.[文]2d【答案】D)8[章]炸，图【解析】如图[来]，取AC的中点为O[自],连接OB,OD,[知]由正方形的性质得△[嘛]ACD,△ABC为[答]等腰直角三角形，所[案]以OD⊥AC,OB[网]⊥AC,所以∠BO[文]D是二面角B-AC[章]D的平面角.因为正[来]方形ABCD沿着对[自]角线AC折成一个直[知]二面角，所以∠B0[嘛]D-号因为△BOD[答]是等腰立角三角彩，[案]0B=0D-号AB[网],所以（号AB)+[文](号AB)-4,解[章]得AB=2.0,出[来]点中8长M是，济：[自]积(8战四千由，1[知]《下自交不图证：不[嘛]他B
