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21.解：(I)由[文]I⊥x轴时，△AM[章]N为等腰直角三角形[来]，可得AH=WH=[自]MF,b2所以a+[知]c=.2分a即c2[嘛]-ac-2a2=0[答],故e2-e-2=[案]0,结合e>[网]1,解得e=2.故[文]双曲线C的离心率为[章]2...4分()因[来]为e==2,所以双[自]曲线C:行年=1，[知]法一：由对称性知，[嘛]若过定点，则一定在[答]x轴上，设为D(x[案],O)①当直线1的[网]斜率不存在时，1：[文]x=2a,M(2a[章],3a),N(-2[来]a,3d),故直线[自]AM:y=x+a,[知]即侣》同理@（行-[嘛]》m.00-号-受[答]8--)侣--9算[案]=-0，故-a0.[网]a0:…6分②直线[文]I的斜率存在时，设[章]直线：x=y+2a[来],M(:,y)，,[自]N(x2,》2),[知]x=my +2a联立直线1与[嘛]双曲线C的方程得x[答]2y2化简得3m2[案]-1)y2+12m[网]m+9a2=0,3[文]a2根据根与系数的[章]关系，得》+乃=1[来]2am9a23m-[自]1=m2-1'①8分-4a所以，[知]+x2=m(y+y[嘛]2)+4a=②3m[答]2-13x=m2y[案]为+2am(0y+[网]为)+4a2=-3[文]a2m-4a2③分[章]3m2-1设直线A[来]M:y=(x+d)[自],直线AN:y=上[知]x+a),x+ax[嘛]+a令号可得号0向[答]Q号司.10分9a[案]2.9a23y1.[网]3y2又2Xx+0[文]2(6+9a'yy3m2-19a[章]2046+a+)+[来]4-3am-4-4[自]a-+aa2)3m[知]2-13m2-1故[嘛]o=-a或=2a,[答]DPD0=(。-2[案]++3ay3y2-[网]=(2-9a2(x[文]+a2(x2+a0[章]）2=0,4所以以[来]PQ为直径的圆过定[自]点(-a,0),([知]2a,0).4,2[嘛]万2(x+a2(x[答]2+a)所以以PQ[案]为直径的圆过定点([网]-a,0),(2a[文],0),….12分[章]法二：显然直线1的[来]斜率不为0，设直线[自]：x=四y+2a,[知]M(,y),N(x[嘛]2,y2),x =my +2a联立直线/与[答]双曲线C的方程得x[案]2y2化简得(3m[网]2-1)y2+12[文]amy+9d2=0[章],根据根与系数的关[来]系，得八+=12a[自]m9a23m2-y[知]3m2-1①.6分[嘛]所以x+名2=m([答]y+2)+4a=-[案]4amn2-1'②x=m%+2am[网](0y+y)+4a[文]2=-3a2m-4[章]c③7分3m2-1[来]设直线AM:y=》[自](x+a),直线A[知]N:y=上(x+a[嘛]),x+ax+a8[答]分设G(x,y)是[案]以PQ为直径的圆上[网]的任意一点，则PG[文]OG=0,则以PQ[章]为直径的圆的方程为[来]-学+-2，+a3[自]0y-2x,+a3[知]2=0,9分3y2[嘛]-=0,由对称性可[答]得，若存在定点，则[案]一定在x轴上，令y[网]=0,可得(x-2[文]+2x+02x+0[章]即c-受+4本++[来])+9a yy2=0,...[自]10分9a2.9a[知]2将0②③代入，可[嘛]得(x-号23m2[答]-1=0,4-'m-4d-4a+a[案].+d2)3m2-[网]13m2-1即(c[文]--4,解得=-u[章]或x=2a,所以以[来]PQ为直径的圆过定[自]点(-a,0),([知]2a,0)..12[嘛]分
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