衡中同卷2022答案数学

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16.4【解析】在[文]△ABC中,设O为[章]BC中点,由正三角[来]形性质可知,AO⊥[自]BC,以O为原点,[知]BC为x轴,AO为[嘛]y轴,平面BCC1[答]B1中过点O且垂直[案]于BC的直线为z轴[网],建立空间直角坐标[文]系,如图所示,因为[章]点P是侧面BCC1[来]B1内的动点,且A[自]P∥平面BCM,则[知]P点的轨迹是过A1[嘛]点与平面MBC平行[答]的平面与侧面BCC[案]1B1的交线,则P[网]点的轨迹是连接侧棱[文]BB1,CC中点的[章]线段l,因为Q是底[来]面ABC内的动点,[自]且PQ⊥平面BCM[知],则有PQ⊥MB,[嘛]PQ⊥MC.因为正[答]三被锥的棱长均为2[案],点M是侧棱AA的[网]中点,所以M(0,[文]-√3,1),B([章]1,0,0),C([来]-1,0,0),设[自]P(x1,0,1)[知],Q(x2,y,0[嘛]),故MB=(1,[答]31),MC=(-[案]1,3,-1),P[网]Q=(x1-x1,[文]y,-1),(x2[章]-x1)+√3y+[来]1=0而MC-(x[自]2-x1)+√3y[知]+1=0得y=-3[嘛],x1=x,因为点[答]P的轨迹是连接侧棱[案]BB1,CC1中点[网]的线段l1,其中l[文]1∥BC,且x1=[章]x,所以点Q的轨迹[来]l2∥BC,所以根[自]据相似可知点Q的√[知]3轨迹长为3×2=[嘛]3C

4.D【解析】取C[答]D的中点E,连接A[案]E,BE,如图所示[网]D设四面体的棱长为[文]2,则AE=BE=[章]√3,且AE⊥CD[来]BE⊥CD,则∠A[自]EB即为相邻两侧面[知]所成二面角的平面角[嘛],在△ABE中,c[答]os∠AEB=AE[案]+BEAB,故正四[网]面体(所有面都是等[文]边三角形的三棱锥)[章]相邻两侧面所成二面[来]角的余弦值是故选D[自]